Derivation of Equations of Motion Class 9

The Three equations are:

Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!

First Equation of motion : v = u + at
Second Equation of motion : s = ut + 1/2at ²
Third Equation of motion : v ²– u ²= 2as

Where u = initial velocity of the body
\(\quad\quad\) v = final velocity of the body
\(\quad\quad\) a = uniform acceleration of the body
\(\quad\quad\) t = time taken
\(\quad\quad\) s = distance travelled

FIRST EQUATION OF MOTION

v = u + at
Consider a body having initial velocity ‘u’. Suppose it is subjected to a uniform acceleration ‘a’ so that after time ‘t’ its final velocity becomes ‘v’.
Now,
Acceleration = change in velocity/time
\(\quad\quad\) a= \(\frac{v – u}{t}\)
\(\quad\) v – u = at
\(\quad\) or v = u + at …..(i)
This equation is known as the first equation of motion.

SECOND EQUATION OF MOTION

s = ut + \(\frac{1}{2}\)at ²
Suppose a body has an initial velocity ‘u’ and uniform acceleration ‘a’ for time ‘t’ so that its final velocity becomes ‘v’. The distance traveled by moving body in time ‘t’ is ‘S’ then the average velocity = \(\frac{u + v}{2}\).
Distance traveled = Average velocity × time

s = \(\frac{u + v}{2}\)t
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{u + u + at}{2}\)t [From first equation, v = u + at]
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{2u + at}{2}\)t
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{2ut + at^2}{2}\)
\(\Rightarrow\) s = ut + \(\frac{1}{2}at^2\)
This is the second equation of motion.

THIRD EQUATION OF MOTION

v ²– u ²= 2as

From the second equation of motion we have,
s = ut + 1/2at ²…(i)
From first equation of motion,
v = u + at
⇒ at = v – u
⇒ t = v – u/a

Putting this value of ‘t’ in equation …(i)
We have,
s = u \(\left(\frac{v – u}{a}\right)\) + \(\frac{1}{2}a\left(\frac{v – u}{a}\right)^2\)
s = \(\frac{uv – v^2}{a}\) + \(\frac{a(v^2 + u^2 – 2uv}{2a^2}\)
s = \(\frac{uv – v^2}{a}\) + \(\frac{v^2 + u^2 – 2uv}{2a}\)
s = \(\frac{2uv -2u^2 + v^2 + u^2 -2uv}{2a}\)
s = \(\frac{v^2 – u^2}{2a}\)
or v ²– u ² = 2as
or v ²= u ²+ 2as

This is the third equation of motion.

Derivation of Equations of Motion Class 9

कक्षा 9: गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति

तीन समीकरण इस प्रकार हैं::

गति का पहला समीकरण: v = u + at
गति का दूसरा समीकरण: s = ut + \(\frac{1}{2}\)at ²
गति का तीसरा समीकरण: v ²– u ²= 2as

जहाँ, u = वस्तु का प्रारंभिक वेग
\(\quad\quad\) v = वस्तु का अंतिम वेग
\(\quad\quad\) a = वस्तु का एकसमान त्वरण
\(\quad\quad\) t = लगा समय
\(\quad\quad\) s = तय की गई दूरी

गति का पहला समीकरण

v = u + at
मान लीजिए कि किसी वस्तु का शुरुआती वेग ‘u’ है। मान लीजिए कि उस पर एक समान त्वरण ‘a’ लगाया जाता है, जिससे ‘t’ समय के बाद उसका अंतिम वेग ‘v’ हो जाता है।
अब,
त्वरण = वेग में परिवर्तन/समय
\(\quad\quad\) a= \(\frac{v – u}{t}\)
\(\quad\) v – u = at
\(\quad\) or v = u + at …..(i)
इस समीकरण को गति का पहला समीकरण कहा जाता है।

गति का दूसरा समीकरण

s = ut + \(\frac{1}{2}\)at ²
मान लीजिए कि किसी वस्तु का शुरुआती वेग ‘u’ है और ‘t’ समय के लिए उसमें एकसमान त्वरण ‘a’ है, जिससे उसका अंतिम वेग ‘v’ हो जाता है। यदि ‘t’ समय में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी ‘S’ है, तो औसत वेग = \(\frac{u + v}{2}\)।
तय की गई दूरी = औसत वेग × समय

s = \(\frac{u + v}{2}\)t
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{u + u + at}{2}\)t [पहले समीकरण से, v = u + at]
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{2u + at}{2}\)t
\(\Rightarrow\) s = \(\frac{2ut + at^2}{2}\)
\(\Rightarrow\) s = ut + \(\frac{1}{2}at^2\)
यह गति का दूसरा समीकरण है।

गति का तीसरा समीकरण

v ²– u ²= 2as

गति के दूसरे समीकरण से,
s = ut + 1/2at ²…(i)
गति के पहले समीकरण से,
v = u + at
⇒ at = v – u
⇒ t = v – u/a

‘t’ का यह मान समीकरण …(i) में रखने पर,
s = u \(\left(\frac{v – u}{a}\right)\) + \(\frac{1}{2}a\left(\frac{v – u}{a}\right)^2\)
s = \(\frac{uv – v^2}{a}\) + \(\frac{a(v^2 + u^2 – 2uv}{2a^2}\)
s = \(\frac{uv – v^2}{a}\) + \(\frac{v^2 + u^2 – 2uv}{2a}\)
s = \(\frac{2uv -2u^2 + v^2 + u^2 -2uv}{2a}\)
s = \(\frac{v^2 – u^2}{2a}\)
or v ²– u ² = 2as
or v ²= u ²+ 2as

यह गति का तीसरा समीकरण है।

Derivation of Equations of Motion Class 9

BrightWay Coaching Academy

Derivation of Equations of Motion Class 9